【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,tanA= ,点D是边AC上一点,连接BD,并将△BCD沿BD折叠,使点C恰好落在边AB上的点E处,过点D作DF⊥BD,交AB于点F.
(1)求证:∠ADF=∠EDF;
(2)探究线段AD,AF,AB之间的数量关系,并说明理由;
(3)若EF=1,求BC的长.
【答案】
(1)
证明:∵DF⊥DB,
∴∠BDF=90°,
∴∠ADF+∠BDC=∠EDF+∠BDE=90°,
由折叠性质得:∠BDE=∠BDC,
∴∠ADF=∠EDF;
(2)
解:AD,AF,AB之间的数量关系为AD2=AFAB,理由如下:
由折叠性质得:∠DEF=∠BDF=∠C=90°,
∴∠EDF+∠DFE=∠ABD+∠DFE=90°,
∴∠EDF=∠ABD,
∴∠ADF=∠DBA,
∵∠A=∠A,
∴△ADF∽△ABD,
∴AF:AD=AD:AB,
∴AD2=AFAB;
(3)
解:在Rt△ADE中,tanA=DE:AE= :1,
设AE=x,则DE= x,
由勾股定理得:AD= = = x,
∵∠ABD=∠EDF,∠AED=∠DEF,
∴△BDE∽△DFE,
∴DE:EF=BE:DE,即DE2=EFEB,
∴( x)2=1×BE,即BE=2x2,
由(2)知AD2=AFAB,
∴( x)2=(AE﹣EF)(AE+BE)=(x﹣1)×(x+2x2),
即3x2=(x﹣1)×(x+2x2),
解得:x=1+ ,x=1﹣ (不合题意舍去),
∴BE=2x2=2(1+ )2=5+2 ,
由折叠可知,BC=BE=5+2 .
【解析】(1)由已知可得∠ADF+∠BDC=∠EDF+∠BDE=90°,再由折叠的性质得∠BDE=∠BDC,即可得出结论;(2)由折叠的性质与已知得∠DEF=∠BDF=∠C=90°,推出∠EDF+∠DFE=∠ABD+∠DFE=90°,得出∠EDF=∠ABD,∠ADF=∠DBA,证得△ADF∽△ABD,对应边成比例即可得出结果;(3)在Rt△ADE中,tanA=DE:AE= :1,设AE=x,则DE= x,由勾股定理可解得AD= x,证得△BDE∽△DFE,得出DE2=EFEB,解得BE=2x2 , 再由(2)知AD2=AFAB,即( x)2=(AE﹣EF)(AE+BE)=(x﹣1)×(x+2x2),解得x的值,即可得出结果.
【考点精析】掌握勾股定理的概念和翻折变换(折叠问题)是解答本题的根本,需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等.
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【题目】如图,点M(4,0),以点M为圆心,2为半径的圆与x轴交于点A、B,已知抛物线y= x2+bx+c过点A和B,与y轴交于点C.
(1)求点C的坐标,并画出抛物线的大致图象.
(2)点P为此抛物线对称轴上一个动点,求PC﹣PA的最大值.
(3)CE是过点C的⊙M的切线,E是切点,CE交OA于点D,求OE所在直线的函数关系式.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b与反比例函数y= (m≠0)的图象交于点A(3,1),且过点B(0,﹣2).
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)如果点P是x轴上一点,且△ABP的面积是3,求点P的坐标.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,点D是AC的中点,延长BC到E,使CE=CD.
(1)用尺规作图的方法,过点D作DM⊥BE,垂足为M(不写作法,只保留作图痕迹);
(2)若AB=2,求EM的长.
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【题目】为深化义务教育课程改革,满足学生的个性化学习需求,某校就“学生对知识拓展,体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查(每人选报一类),绘制了如图所示的两幅统计图(不完整),请根据图中信息,解答下列问题:
(1)扇形统计图中m的值为 , n的值为;
(2)补全条形统计图;
(3)在选择B类的学生中,甲、乙、丙三人在乒乓球项目表现突出,现决定从这三名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛,选中甲同学的概率是 .
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx经过A(2,0),B(3,﹣3)两点,抛物线的顶点为C,动点P在直线OB上方的抛物线上,过点P作直线PM∥y轴,交x轴于M,交OB于N,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)当△PON为等腰三角形时,点N的坐标为;当△PMO∽△COB时,点P的坐标为;(直接写出结果)
(3)直线PN能否将四边形ABOC分为面积比为1:2的两部分?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
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【题目】某校为了了解九年级学生(共450人)的身体素质情况,体育老师对九(1)班的50位学生进行一分钟跳绳次数测试,以测试数据为样本,绘制了如下部分频数分布表和部分频数分布直方图.
组别 | 次数x | 频数(人数) |
A | 80≤x<100 | 6 |
B | 100≤x<120 | 8 |
C | 120≤x<140 | m |
D | 140≤x<160 | 18 |
E | 160≤x<180 | 6 |
请结合图表解答下列问题:
(1)表中的m=;
(2)请把频数分布直方图补完整;
(3)这个样本数据的中位数落在第组;
(4)若九年级学生一分钟跳绳次数(x)合格要求是x≥120,则估计九年级学生中一分钟跳绳成绩不合格的人数.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,延长AC到D,使CD=BC,点P是△ABD的内心,则∠BPC=( )
A.105°
B.110°
C.130°
D.145°
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