分析 (1)根据抛物线经过原点b=0,把a=$\frac{3}{2}$、b=0代入抛物线解析式,即可求出抛物线解析式,再求出B、C坐标,即可求出BC长.
(2)利用△PCB∽△APM,得$\frac{PB}{AM}$=$\frac{BC}{PM}$,列出方程即可解决问题.
解答 解:(1)∵抛物线y=-x2+4ax+b(a>0)经过原点O,
∴b=0,
∵a=$\frac{3}{2}$,
∴抛物线解析式为y=-x2+6x,
∵x=2时,y=8,
∴点B坐标(2,8),
∵对称轴x=3,B、C关于对称轴对称,
∴点C坐标(4,8),
∴BC=2.
(2)∵AP⊥PC,
∴∠APC=90°,
∵∠CPB+∠APM=90°,∠APM+∠PAM=90°,
∴∠CPB=∠PAM,
∵∠PBC=∠PMA=90°,
∴△PCB∽△APM,
∴$\frac{PB}{AM}$=$\frac{BC}{PM}$,
∴$\frac{6a-4}{4a-2}$=$\frac{4a-4}{2a}$,
整理得a2-4a+2=0,解得a=2±$\sqrt{2}$,
∵a>1,
∴a=2+$\sqrt{2}$.
(3)∵△APM∽△ANO,
∴$\frac{AP}{PN}$=$\frac{AM}{MO}$=$\frac{1}{2}$,
∵AM=4a-2,OM=2,
∴$\frac{4a-2}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∴a=$\frac{3}{4}$.
点评 本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识,解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题,学会转化的思想,属于中考常考题型.
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x | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | … |
y | … | -3 | -2 | -3 | -6 | -11 | … |
A. | 直线x=-3 | B. | 直线x=-2 | C. | 直线x=-1 | D. | 直线x=0 |
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