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    如图1，在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，它的两边分别交AD、DC于点E、F，且AE≠CF．

    （1）求证：EF=AE+CF．
    （2）如图2，当∠MBN的两边分别交AD、DC的延长线于点E、F，其余条件均不变时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段AE、CF，EF又有怎样的数量关系？并证明你的结论．
    分析：（1）延长FC到H，使CH=AE，连接BH，根据SAS证△BCH≌△BAE，推出BH=BE，∠CBH=∠ABE，根据△HBF≌△EBF，推出HF=EF即可；
    （2）在AE上截取AQ=CF，连接BQ，根据SAS证△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，证△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．
    解答：（1）证明：延长FC到H，使CH=AE，连接BH，
    ∵AB⊥AD，BC⊥CD，
    ∴∠A=∠BCH=90°，
    ∵在△BCH和△BAE中
    BC=BA
    ∠BCH=∠A
    CH=AE

    ∴△BCH≌△BAE（SAS），
    ∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
    ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
    ∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
    ∴∠HBC+∠CBF=60°，
    ∴∠HBF=60°=∠MBN，
    在△HBF和△EBF中
    ∵
    BH=BE
    ∠HBF=∠EBF
    BF=BF
    ，
    ∴△HBF≌△EBF（SAS），
    ∴HF=EF，
    ∵HF=HC+CF=AE+CF，
    ∴EF=AE+CF．

    （2）（1）中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF，
    证明：在AE上截取AQ=CF，连接BQ，
    ∵AB⊥AD，BC⊥CD，
    ∴∠A=∠BCF=90°，
    在△BCF和△BAQ中
    BC=AB
    ∠BCF=∠A
    CF=AQ
    ，
    ∴△BCF≌△BAQ（SAS），
    ∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
    ∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
    ∴∠CBE+∠ABQ=60°，
    ∵∠ABC=120°，
    ∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
    在△FBE和△QBE中
    BF=BQ
    ∠FBE=∠QBE
    BE=BE
    ，
    ∴△FBE≌△QBE（SAS），
    ∴EF=QE，
    ∵AE=QE+AQ=EF+CF，
    ∴AE=EF+CF，
    即（1）中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF．
    点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，证明过程类似．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）已知：如图1，在四边形ABCD中，E是AD上一点，EC∥AB，EB∥CD，若S△DEC=1，S△ABE=3，则S△BCE=
     
    ；若S△DEC=S1，S△ABE=S2，S△BCE=S，请直接写出S与S1、S2间的关系式：
     
    ；
    （2）如图2，△ABC、△DCE、△GEF都是等边三角形，且A、D、G在同一直线上，B、C、E、F也在同一直线上，S△ABC=4，S△DCE=9，试利用（1）中的结论得△GEF的面积为
     
    ．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们把既有外接圆又有内切圆的四边形称为双圆四边形，如图1，四边形ABCD是双圆四边形，其外心为O1，内心为O2．
    （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中，双圆四边形有
     
    个；
    （2）如图2，在四边形ABCD中，已知：∠B=∠D=90°，AB=AD，问：这个四边形是否是双圆四边形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
    （3）如图3，如果双圆四边形ABCD的外心与内心重合于点O，试判定这个四边形的形状，并说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
    （1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
    （2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•咸宁）阅读理解：
    如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
    （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
    （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
    拓展探究：
    （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•东台市二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

    思考验证：
    （1）求证：DE=DF；
    （2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
    归纳结论：
    （3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°-α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）
    探究应用：
    （4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

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