Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．
（1）二次函数的解析式为y=______；
（2）证明：点（-m，2m-1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；
（3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．
①y轴上存在点K，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是______；
②二次函数的图象上是否存在点p，使得S_三角形POE=2S_三角形ABD？求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．
（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式．
（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，
①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则KA=DC，且BA∥DK，进而求出K点的坐标．
②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S_三角形ABD=2S_三角形ACD，设P（x，x²-x+1），由题意可以解出x．
解答：（1）解：顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a（x-2）²，
把x=0代入y=x+1得y=1，则A（0，1）
再代入y=a（x-2）²得：1=4a，则a=．
故二次函数的解析式为：y=（x-2）²=x²-x+1．

（2）证明：设点（-m，2m-1）在二次函数y=x²-x+1的图象上，
则有：2m-1=m²+m+1，
整理得m²-4m+8=0，
∵△=（-4）²-4×8=-16＜0
∴原方程无解，
∴点（-m，2m-1）不在二次函数y=x²-x+1的图象上．

（3）解：①K（0，-3）或（0，5）；
②二次函数的图象上存在点P，使得S_△POE=2S_△ABD，
如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，
∴OE=EF，由于y=x²-x+1和y=x+1可求得点B（8，9）
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），
∴AD∥x轴，
∴S_△ABD=2S_△ACD=2××4×4=16．
设P（x，x²-x+1），
由题意有：S_△POE=×4（-x+1）=x²-2x+2，
∵S_△POE=2S_△ABD
∴x²-2x+2=32
解得x=-6或x=10，
当x=-6时，y=×36+6+1=16，
当x=10时，y=×100-10+1=16，
∴存在点P（-6，16）和P（10，16），使得S_△POE=2S_△ABD，得到
△POE的边OE上的高为16，即点P的纵坐标为16，
然后由16=x²-x+1可求出P点坐标．
点评：本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会判断点是否在直线上，本题步骤有点多，做题需要细心．