Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

4

3

x²+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）将A（1，0），B（0，4）代入y=-

4

3

x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，-

4

3

m²-

8

3

m+4），G（m，4），则PG=-

4

3

m²-

8

3

m+4-4=-

4

3

m²-

8

3

m，点P在直线BC上方时，故需要求出m的取值范围；
（3）先由抛物线的解析式求出D（-3，0），则当点P在直线BC上方时，-3＜m＜0．再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=

4

3

x+4，于是得出H（m，

4

3

m+4）．当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

4

3

x²+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），
∴

- 4 3 +b+c=0 c=4

，解得

b=- 8 3 c=4

，
∴抛物线的解析式为y=-

4

3

x²-

8

3

x+4；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
∴P（m，-

4

3

m²-

8

3

m+4），G（m，4），
∴PG=-

4

3

m²-

8

3

m+4-4=-

4

3

m²-

8

3

m；
点P在直线BC上方时，故需要求出抛物线与直线BC的交点，
令4=-

4

3

m²-

8

3

m+4，解得m=-2或0，
即m的取值范围：-2＜m＜0，
PG的长度为：-

4

3

m²-

8

3

m（-2＜m＜0）；

（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．
∵y=-

4

3

x²-

8

3

x+4，
∴当y=0时，-

4

3

x²-

8

3

x+4=0，
解得x=1或-3，
∴D（-3，0）．
当点P在直线BC上方时，-2＜m＜0．
设直线BD的解析式为y=kx+4，
将D（-3，0）代入，得-3k+4=0，
解得k=

4

3

，
∴直线BD的解析式为y=

4

3

x+4，
∴H（m，

4

3

m+4）．
分两种情况：
①如果△BGP∽△DEH，那么

BG

DE

=

GP

EH

，
即

-m

m+3

=

- 4 3 m2- 8 3 m

4 3 m+4

，
解得m=-3或-1，
由-2＜m＜0，故m=-1；
②如果△PGB∽△DEH，那么

PG

DE

=

BG

HE

，
即

- 4 3 m2- 8 3 m

m+3

=

-m

4 3 m+4

，
由-2＜m＜0，解得m=-

23

16

．
综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为-1或-

23

16

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，线段的表示，相似三角形的性质等知识，综合性较强，难度较大．运用数形结合、方程思想及分类讨论是解题的关键．