Question

15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．
（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD=MN；
（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；
（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；
（2）构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；
（3）借助（2）的结论，先判断出点N是以点D为圆心，$\frac{b}{2}$为半径的圆上，即可得出结论．

解答 解：（1）证明：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线．
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．
在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=MN．

（2）答：CN与EN的数量关系CN=EN，
CN与EN的位置关系CN⊥EN．
证明：连接EM，DN，如图．
与（1）同理可得 CD=MN，EM=DN．
在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，
∴CD⊥AB．
在△ABF中，同理可证EM⊥AF．
∴∠EMF=∠CDB=90°．

∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，
∴DN∥AF，MN∥AB．
∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．
∴∠FMN=∠BDN．
∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．
∴∠EMN=∠NDC．
∴△EMN≌△DNC．
∴CN=EN，∠1=∠2．
∵∠1+∠3+∠EMN=180°，
∴∠2+∠3+∠FMN=90°．
∴∠2+∠3+∠DNM=90°，
即∠CNE=90°．
∴CN⊥EN．
（3）点N是以点D为圆心，$\frac{b}{2}$为半径的圆上，
在Rt△ABC中，AC=BC=a，
∴AB=$\sqrt{2}$a，
∵CD为AB边上的中线．
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∴CN最大=CD+$\frac{b}{2}$=$\frac{\sqrt{2}a+b}{2}$，CN最小=CD-$\frac{b}{2}$=$\frac{\sqrt{2}a-b}{2}$
由（2）知，EN=CN，
∴EN最大=$\frac{\sqrt{2}a+b}{2}$，EN最小=$\frac{\sqrt{2}a-b}{2}$
即：EN的最大值为$\frac{{\sqrt{2}a+b}}{2}$，最小值为$\frac{{\sqrt{2}a-b}}{2}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的中线，三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，圆的性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道考查知识点比较多的综合题．