分析 (1)根据配方法,可得函数顶点坐标,根据x轴上点的纵坐标等于零,可得方程,根据解方程,可得答案;
(2)根据二次函数的性质,对称轴的左侧y随x的增大而增大,可得不等式,根据解不等式,可得答案;
(3)①根据点的坐标满足函数解析式在函数图象上,可得答案;
②根据正切函数的增减性,可得不等式组,根据解不等式组,可得答案.
解答 解:(1)y=kx2-(4k+1)x+4=k(x-$\frac{4k+1}{2k}$)+4-$\frac{(4k+1)^{2}}{4k}$,
由二次函数的顶点在x轴上,得
4-$\frac{16{k}^{2}+8k+1}{4k}$=0,
解得k=$\frac{1}{4}$;
(2)由x<-1时,y随x的增大而增大,得
$\left\{\begin{array}{l}{k<0}\\{\frac{4k+1}{2k}≤-1}\end{array}\right.$,
解得k≤-$\frac{1}{6}$,
若x<-1时,y随x的增大而增大,实数k的取值范囤是k≤-$\frac{1}{6}$;
(3)①当x=4时,y=16k-16k-4+4=0,即(4,0)在函数图象上;
②如图,
由正切函数的增减性,得
1≤$\frac{EF}{BF}$≤$\sqrt{3}$,
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-3k}{3}≥1}\\{\frac{3-3k}{3}≤\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
解得1-$\sqrt{3}$≤0.
点评 本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是利用x轴上点的纵坐标等于零得出方程;解(2)的关键是利用对称轴的左侧y随x的增大而增大得出不等式是解题关键;解①的关键是把点的坐标代入函数解析式;解②的关键是利用正切函数的增减性得出不等式组.
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A. | 4 | B. | $2\sqrt{3}$ | C. | 12 | D. | $4\sqrt{3}$ |
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