Question

在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于O，∠ACB=60°，AD=4
（1）判断△AOD的形状；
（2）求对角线BD的长及AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，推出OA=OD=OB=OC，求出∠CAB=30°，∠DAO=60°，根据等边三角形的判定推出即可；
（2）根据等边三角形的性质得出OD=AD=4，求出BD=2OD=8，根据勾股定理求出AB即可．

解答：（1）解：△AOD是等边三角形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，
∴OA=OD=OB=OC，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAB=30°，
∴∠DAO=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形；

（2）解：∵△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=60°，AD=OA=OD=4，
由（1）知，OB=OD=

1

2

BD，
即BD=2OD=8，
在Rt△DAB中，由勾股定理得：AB=

BD2-AD2

=

82-42

=4

2

．
即BD=8，AB=4

3

．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．