Question

已知关于x的方程kx²+2（k+1）x-3=0．
（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根；
（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．

Answer 1

【答案】分析：（1）选取k的值，注意使其满足使方程有两个有理根，解此方程即可；
（2）分别从当k=0时（即方程为一元一次方程）与当k＞-且k≠0时（即方程为一元二次方程）去分析求解，当是一元二次方程时利用根的判别式即可判定方程实数根的情况．
解答：解：（1）比如：取k=3，原方程化为3x²+8x-3=0．    …（1分）
即：（3x-1）（x+3）=0，
解得：x₁=-3，x₂=；                      …（2分）

（2）由16+k＞0，解得k＞-．              …（3分）
∵当k=0时，原方程化为2x-3=0；
解得：x=，
∴当k=0时，方程有一个实数根  …（4分）
∵当k＞-且k≠0时，方程kx²+2（k+1）x-3=0为一元二次方程，
∴△=[2（k+1）]²-4×k×（-3）
=4k²+8k+4+12k
=4k²+20k+4
=[（2k）²+2×2k×1+1]+（16k+3）
=（2k+1）²+16k+3，…（5分）
∵（2k+1）²≥0，16k+3＞0，
∴△=（2k+1）²+16k+3＞0．  …（6分）
∴当k＞-且k≠0时，一元二次方程kx²+2（k+1）x-3=0有两个不等的实数根．…（7分）
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解法、根的判别式以及配方法的应用等知识．此题难度适中，解题的关键是注意分别从当k=0时（即方程为一元一次方程）与当k＞-且k≠0时（即方程为一元二次方程）去分析求解．