Question

如图，梯形ABCD中，AB⊥BC，∠BAC=60°，∠ADC=135°，BC=12

3

，求梯形的面积和周长．

Answer 1

考点：梯形,解直角三角形

专题：

分析：首先过点D作DE⊥BC于点E，由梯形ABCD中，AB⊥BC，可得四边形ABED是矩形，又由梯形ABCD中，AB⊥BC，∠BAC=60°，∠ADC=135°，BC=12

3

，利用直角三角形的性质，即可求得各边长，继而求得答案．

解答：解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵梯形ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠B=90°，
∵BC=12

3

，∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°，AB=

BC

tan60°

=

12 3

3

=12，
∴DE=AB=12，
∵在梯形ABCD中，∠ADC=135°，
∴∠BCD=45°，
∴CE=DE=12，
∴CD=

2

DE=12

2

，AD=BE=BC-CE=12

3

-12，
∴梯形的面积为：

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

×（12

3

-12+12

3

）×12=144

3

-72；
周长为：AB+BC+CD+AD=12+12

3

+12

2

+12

3

-12=24

3

+12

2

．

点评：此题考查了梯形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．