解:(1)∵反比例函数
的图象经过点A(3,4),
∴
,
解得:k=12,
∴反比例函数解析式为
;
(2)存在.
若点P在x轴上,设点P的坐标为(x,0),其中x≠0.
由题意可得:OA=
,AP=
,
∴
=5,
解得:x
1=0(舍去),x
2=6,
∴点P的坐标为(6,0);
若点P在y轴上,设点P的坐标为(0,y),其中y≠0,
同理可得:
=5,
解得:y
1=0(舍去),y
2=8,
∴点P的坐标为(0,8);
综上:在坐标轴上存在点P(与原点O不重合),使AO=AP,点P的坐标为(6,0)或(0,8).
分析:(1)由反比例函数
的图象经过点A(3,4),利用待定系数法即可求得反比例函数解析式;
(2)分别从若点P在x轴上,设点P的坐标为(x,0),其中x≠0与若点P在y轴上,设点P的坐标为(0,y),其中y≠0去分析,利用两点距离公式,即可得方程,继而可求得答案.
点评:此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、两点间的距离公式以及一元二次方程的解法.此题难度较大,注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用.