Question

5．如图，在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，∠CAB=45°，AC=2$\sqrt{2}$，∠ACB=60°，点B在x轴正半轴，点C在第一象限，动点D在边AB上运动，以CD为直径作⊙O与AC，AB分别交于E，F，连接EF．
（1）当△CEF成为等边三角形时，AE：EC=1：$\sqrt{3}$；
（2）当EF=$\frac{\sqrt{201}}{8}$时，点D的坐标为（$\frac{8±\sqrt{3}}{4}$，0）．

Answer 1

分析 （1）连接ED可知，∠CED=90°，又因为△CEF是等边三角形，所以∠CEF=60°，由圆周角定理可知∠ACD=30°，由锐角三角函数可知所以$AE：EC=1：\sqrt{3}$；
（2）过点O作OG⊥EF于点G，由垂径定理可求得OF，即可以求出直径CD的长度，然后设AE=x，利用勾股定理，即可求出AE的长度，而AD=$\sqrt{2}$AE．

解答 （1）连接DE，
∵CD是⊙O直径，
∴∠CED=90°，
∵∠CAB=45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AE=ED，
∵△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°，
∴∠DEF=90°-60°=30°，
∵$\widehat{DF}=\widehat{DF}$，
∴∠DCF=∠DEF=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠DCE=30°，
∴tan∠DCE=$\frac{ED}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$AE：EC=1：\sqrt{3}$；

（2）连接ED、OF，过点O作OG⊥EF于点G，
∵∠ACB=60°
∴由圆周角定理可知：∠GOF=60°，
∵EF=$\frac{\sqrt{201}}{8}$，
∴由垂径定理可求得：FG=$\frac{\sqrt{201}}{16}$，
∴sin∠GOF=$\frac{FG}{OF}$，
∴OF=$\frac{\sqrt{67}}{8}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{67}}{4}$，
设AE=x，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°，
∵∠CAB=45°，
∴AE=ED=x，
∴CE=2$\sqrt{2}$-x，
∴由勾股定理可知：ED²+CE²=CD²，
∴x²+（2$\sqrt{2}$-x）²=$\frac{67}{16}$，
∴x=$\frac{8\sqrt{2}±\sqrt{6}}{8}$
∵x＞0，
∴x=$\frac{8\sqrt{2}±\sqrt{6}}{8}$，
∴AD=$\sqrt{2}$x=$\frac{8±\sqrt{3}}{4}$
∴D的坐标为（$\frac{8±\sqrt{3}}{4}$，0）
故答案为：（$\frac{8±\sqrt{3}}{4}$，0）

点评 本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，圆周角定理等知识，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．