Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，顶点为D，交y轴于C．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在着一点M使得MA+MC的值最小，若存在求出M点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．满足条件的M点的坐标为（﹣1，2）．

【解析】

（1）利用交点式写出抛物线解析式；

（2）利用配方法得到抛物线的对称轴为直线x＝1，再确定C（0，3），连接BC交直线x＝1于M，如图，利用两点之间线段最短判断此时MA＋MC的值最小，然后根据直线BC的解析式即可得到M点的坐标．

（1）抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3），

即y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在，

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，

当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则C（0，3），

连接BC交直线x＝﹣1于M，如图，

∵点A与点B关于直线x＝﹣1对称，

∴MA＝MB，

∴MA+MC＝MB+MC＝BC，

∴此时MA+MC的值最小，

易得直线BC的解析式为y＝x+3，

当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，

∴满足条件的M点的坐标为（﹣1，2）．