Question

已知：如图①，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D在BC的延长线上，联结AD，以AD为一边作△ADE，使点E与点B位于直线AD的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC．
（1）如果AE∥BC，请判断四边形ABDE的形状并证明；
（2）如图②，设M是BC中点，N是DE中点，联结AM、AN、MN，求证：△ABD∽△AMN；
（3）设BD=x，在（2）的前提下，以BC为直径的⊙M与以DE为直径的⊙N存在着哪些位置关系？并求出相应的x的取值范围（直接写出结论）．

Answer 1

考点：相似形综合题,等腰三角形的性质,勾股定理,平行四边形的判定,圆与圆的位置关系,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）已知AE∥BC，则有∠EAB+∠B=180°，要证四边形ABDE是平行四边形，只需证AB∥ED，只需证到∠EAB+∠E=180°，只需得到∠B=∠E，只需证到△ABC∽△ADE即可．
（2）易证∠MAN=∠BAD，根据相似三角形对应中线的比等于相似比可得

AM

AN

=

AB

AD

，就可得到△AMN∽△ABD．
（3）利用相似三角形的性质可以用x的代数式表示出MN及r_N的长，只需求出两圆外切时的x的值，就可解决问题．

解答：（1）答：四边形ABDE是平行四边形．
证明：如图1，
∵AB=AC，AD=AE，
∴

AB

AD

=

AC

AE

．
∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
∴∠E=∠ACB．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B．
∴∠E=∠B．
∵AE∥BC，
∴∠EAB+∠B=180°．
∴∠EAB+∠E=∠EAB+∠B=180°．
∴AB∥ED．
∴四边形ABDE是平行四边形．

（2）证明：如图2，
∵AB=AC，M是BC中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=

1

2

∠BAC．
同理：AN⊥DE，∠DAN=∠EAN=

1

2

∠DAE．
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAM=∠DAN．
∵∠MAN=∠MAC+∠CAD+∠DAN，
∠BAD=∠BAM+∠MAC+∠CAD，
∴∠MAN=∠BAD．
∵△ABC∽△ADE（已证），M是BC中点，N是DE中点，
∴

AM

AN

=

AB

AD

．
∴△AMN∽△ABD．

（3）解：∵AM⊥BC，
∴AM²=AB²-BM²=AD²-MD²．
∵AB=6，BM=2，MD=x-2，
∴AM²=6²-2²=AD²-（x-2）²．
∴AM=4

2

，AD=

x2-4x+36

．
∵△ABC∽△ADE，
∴

AB

AD

=

BC

DE

．
∴AB•DE=AD•BC．
∴6×DE=

x2-4x+36

×4．
∴DE=

2

3

x2-4x+36

．
∴r_N=

1

3

x2-4x+36

．
∵△AMN∽△ABD，
∴

MN

BD

=

AM

AB

．
∴AB•MN=AM•BD．
∴6MN=4

2

x．
∴MN=

2 2

3

x．
当⊙M与⊙N外切时，MN=r_M+r_N．
∴

2 2

3

x=2+

1

3

x2-4x+36

．
∴

2 2

3

x-2=

1

3

x2-4x+36

．
∴2

2

x-6=

x2-4x+36

．
∴8x²-24

2

x+36=x²-4x+36．
∴7x²=（24

2

-4）x．
∵点D在BC的延长线上，
∴x≥4．
∴x=

24 2 -4

7

．
∴当x=

24 2 -4

7

时，两圆外切；当4≤x＜

24 2 -4

7

时，两圆相交；当x＞

24 2 -4

7

时，两圆外离．

点评：本题重点考查了相似三角形的判定与性质，另外还考查了平行四边形的判定、两圆的位置关系、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，综合性比较强，而考虑两圆外切这个临界位置是解决第（3）小题的关键．