Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，
∴∠COH=60°，OH=，CH=3；
∴C点坐标为（，3）．

（2）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C（，3）、A（2，0）两点，
∴，
解得；
∴此抛物线的函数关系式为：y=-x²+2x．

（3）存在．
∵y=-x²+2x的顶点坐标为（，3），
即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=t，
∴P（t，t）；
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；
把x=t代入y=-x²+2x，
得y=-3t²+6t，
∴M（t，-3t²+6t），E（，-3t²+6t），
同理：Q（，t），D（，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，
即3-（-3t²+6t）=t-1，
解得t=，t=1（舍），
∴P点坐标为（，），
∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（，）．
分析：（1）在Rt△AOB中，根据AB的长和∠BOA的度数，可求得OA的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过C作CD⊥x轴于D，即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C的坐标．
（2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（3）根据（2）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作ME⊥CD（即抛物线对称轴）于E，过P作PQ⊥CD于Q，若四边形CDPM是等腰梯形，那么CE=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CE、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标．
点评：此题主要考查了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定和性质等重要知识点，难度较大．