Question

20．在等腰三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，已知a=2，b和c是关于的方程x²+（m-1）x-m=0的两个实数根．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的内切圆半径．

Answer 1

分析 （1）此题分两种情况考虑：一是b和c中有一个和a相等，是2；二是b=c，即根据方程有两个相等的实数根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三边关系．
（2）根据（1）中求解的结果，只需求得2，2，1的三角形的内切圆的半径，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求解．

解答 解：（1）若b、c中有一边等于2，
则方程可化为2²+2（m-1）-m=0，
解得m=-2；
原方程可化为x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
所以三角形的周长为2+2+1=5；
若b=c，则△=（m-1）²+4m=0，
解得m=-1，
当m=-1时，方程为x²-2x+1=0，得x₁=x₂=1（不合题意，舍去），
所以三角形的周长为2+2+1=5；
综上可知△ABC的周长为5．

（2）作△ABC的内切圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，
连接BO，CO，过点O作OA⊥AB，OF⊥AC．
∴BD=CD，BD⊥CD，
∵AB=AC=2，BD=CD=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OAC+S_△OBC，
∴$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$AB•OE+$\frac{1}{2}$AC•OF+$\frac{1}{2}$BC•OD，
即$\frac{\sqrt{15}}{2}$=2r+2r+r，
∴r=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
△ABC的内切圆半径为$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，注意（1）中的多种情况，能够熟练结合等腰三角形的三线合一和勾股定理求得等腰三角形的内切圆的半径．