Question

（1）四个有理数a、b、c、d满足

|abcd|

abcd

=-1，则

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

+

d

|d|

的最大值为

2

．
（2）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
①f（1）=0，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，…
②f(

1

2

)=2，f(

1

3

)=3，f(

1

4

)=4，f(

1

5

)=5，…
利用以上规律计算：f(

1

2008

)-f(2008)=

1

．
（3）代数式|x+2|+|x-2|+|x+3|+|x-1|的最小值为

8

．

Answer 1

分析：（1）由已知的等式得到abcd为负值，由两数相乘积的去符号法则得到a、b、c、d中有一个为负数或三个为负数，若四个字母中有一个为负数，利用负数的绝对值等于它的相反数、正数的绝对值等于它本身进行化简，求出所求式子的值；若有三个为负数，同理化简求出所求式子的值，比较即可得到所求式子的最大值；
（2）由已知的两列等式得到规律：f（n）=n-1，f（

1

n

）=n，且n为正整数，取n=2008，分别代入相应的运算中计算，即可得到所求式子的值；
（3）分x≤-3；-3＜x≤-2；-2＜x＜1；1≤x≤2；x≥2五个范围，判断绝对值中代数式的正负，利用绝对值的代数意义化简，分别求出所求式子的值，比较即可得到所求式子的最小值．

解答：解：（1）依题意

|abcd|

abcd

=-1，得到|abcd|=-abcd，
∴abcd＜0，即a、b、c、d中有一个为负或三个为负，
（i）当有一个为负，假设a＜0时，则有|a|=-a，
此时

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

+

d

|d|

=-1+1+1+1=2，
若b＜0或c＜0或d＜0时，同理得到

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

+

d

|d|

=2；
（ii）当有三个为负时，假设a＜0，b＜0，c＜0时，d＞0，
则有|a|=-a，|b|=-b，|c|=-c，|d|=d，
此时

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

+

d

|d|

=-1-1-1+1=-2，
若b＜0，c＜0，d＜0或a＜0，b＜0，d＜0时，同理得到

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

+

d

|d|

=-2．
综上所述，原式的最大值是2；

（2）根据上述等式得到f（n）=n-1，f（

1

n

）=n，（n为正整数），
则f（

1

2008

）-f（2008）=2008-2007=1；

（3）当x≤-3，原式=-x-2-x+2-x-3-x+1=-4x-2；最小值=-4×（-3）-2=10；
当-3＜x≤-2，原式=-x-2-x+2+x+3-x+1=-2x+4；最小值=-2×（-2）+4=8；
当-2＜x＜1，原式=x+2-x+2+x+3-x+1=8；
当1≤x≤2，原式=x+2-x+2+x+3+x-1=2x+6；最小值=8；
当x≥2，原式=x+2+x-2+x+3+x-1=4x+2，最小值=10．
综上，代数式|x+2|+|x-2|+|x+3|+|x-1|的最小值为8．
故答案为：（1）2；（2）1；（3）8．

点评：此题考查了规律型：数字的变化类，以及绝对值的代数意义，利用了分类讨论的思想，弄清题中的规律是解本题的关键．