【题目】如图,AB为⊙O的直径,CD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,OE⊥AB交⊙O于点E,连接CA、CE、CB,CE交AB于点G,过点A作AF⊥CE于点F,延长AF交BC于点P.
(Ⅰ)求∠CPA的度数;
(Ⅱ)连接OF,若AC=,∠D=30°,求线段OF的长.
【答案】(Ⅰ)45°;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)连接AE,由OA=OB且OE⊥AB知∠OEG+∠AEC=45°,再证∠OEG=∠BAP、∠AEC=∠ABP,在△ABP中利用三角形外角性质可得答案;
(Ⅱ)由切线性质及∠D=30°可得∠AOC=∠OAC=60°,在Rt△ABC中求得BC=3,由∠APC=45°、∠ACP=90°得CP=AC=,可知BP=3﹣,证OF为△ABP中位线可得答案.
解:(Ⅰ)如图,连接AE,
∵OE⊥AB,OA=OE,
∴∠AOE=90°,∠AEO=45°,
∴∠OEG+∠OGE=90°,
∵AF⊥CE,
∴∠AFG=90°,
∴∠FAG+∠AGF=90°,
∵∠AGF=∠OGE,
∴∠OEG=∠BAP,
∵∠AEC=∠ABC,
∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°;
(Ⅱ)连接OC,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠DCO=90°,
∵∠D=30°,
∴∠AOC=60°,
∵OA=OC,
∴∠BAC=60°,
在Rt△ABC中,AC=,
∴BC=ACtan∠BAC=×=3,
由(1)知,AC=CP=,
∴BP=BC﹣CP=3﹣,
∵AF⊥CE,
∴AF=PF,
∵OA=OB,
∴OF=BP=.
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【题目】梦想商店进了一批服装,进货单价为元,如果按每件元出售,可销售件,如果每件提价元出售,其销售量就减少件.
现在获利元,且销售成本不超过元,问这种服装销售单价应定多少元?这时应进多少服装?
当销售单价应定多少元时,该商店获得最大利润?最大利润是多少元?
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【题目】如图,正方形的边长为8,为上一点, ,为边上的一个动点,分别以为边在正方形内部作等边三角形和等边三角形.
(1)证明:;
(2)直线与交于点,点在运动过程中.
①的度数是否发生改变?若不变,求出这个角的度数;若改变,说明理由;
②连结,求的最小值.
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【题目】如图,MN是⊙O的直径,点A是半圆上的三等分点,点B是劣弧AN的中点,点P是直径MN上一动点.若MN=2,AB=1,则△PAB周长的最小值是( )
A. 2+1 B. +1 C. 2 D. 3
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,连结DE,过点B作BP平行于DE,交⊙O于点P,连结EP、CP、OP.
(1)BD=DC吗?说明理由;
(2)求∠BOP的度数;
(3)求证:CP是⊙O的切线.
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【题目】数学概念:百度百科上这样定义绝对值函数:y=│x│=
并给出了函数的图像(如图).
方法迁移
借鉴研究正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)之间关系的经验,我们来研究函数y=│x+a│(a是常数)的图像与性质.
“从‘1’开始”
我们尝试从特殊到一般,先研究当a=1时的函数y=│x+1│.
按照要求完成下列问题:
(1)观察该函数表达式,直接写出y的取值范围;
(2)通过列表、描点、画图,在平面直角坐标系中画出该函数的图像.
“从‘1’到一切”
(3)继续研究当a的值为-2,-,2,3,…时函数y=│x+a│的图像与性质,
尝试总结:
①函数y=│x+a│(a≠0)的图像怎样由函数y=│x│的图像平移得到?
②写出函数y=│x+a│的一条性质.
知识应用
(4)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=│x+a│的图像上的任意两点,且满足x1<x2≤-1时, y1>y2,则a的取值范围是 .
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【题目】如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOC=100°,∠AOB=α,以OB为边作等边△BOD,连接CD.
(1)求证:△ABO≌△CBD;
(2)当α=150°时,试判断△COD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时△COD是等腰三角形?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点C'处,连接C'D交AB于点E,连接BC',当△BC'D是直角三角形时,DE的长为_________.
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