Question

如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）请用尺规作图：作△BC′D与△BCD关于矩形ABCD的对角线BD所在的直线对称（要求：在原图中作图，不写作法，不证明，保留作图痕迹）．
（2）若矩形ABCD的边AB=5，BC=12，（1）中BC′交AD于点E，求线段BE的长．

Answer 1

分析：（1）即从C点向BD引垂线并延长，相同的距离，找到点C′顺次连接三点组成三角形．
（2）主要是根据轴对称图形，找出图形中的边的关系，利用勾股定理来求线段的长．

解答：解：
（1）方法一：作BC′=BC，DC′=DC．
方法二：作∠C′BD=∠CBD，取BC′=BC，连接DC′．
方法三：作∠C′DB=∠CDB，取DC′=DC，连接BC′．
方法四：作C′与C关于BD对称，连接BC′、DC′．
以上各种方法所得到的△BDC′都是所求作的三角形．
只要考生尺规作图正确，痕迹清晰都给（3分）．

（2）∵△C′BD与△CBD关于BD对称，
∴∠EBD=∠CBD．
又∵矩形ABCD的AD∥BC，
∴∠EDB=∠CBD．
∴∠EBD=∠EDB，BE=DE．
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，而AB=5，BC=12，
∴5²+（12-BE）²=BE²（5分）
解得BE=

169

24

．
∴所求线段BE的长是

169

24

．（6分）

点评：本题是一道综合应用轴对称图形的题，难度较大，但学生只要把握了轴对称图形的性质，还是可以做出来的．