【题目】如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C,B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;
(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;
(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当CM=MN,且∠CMN=90°时,求此时△CMN的面积.
【答案】
(1)
解:把点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx中,得 解得: ,
∴抛物线表达式为:y=﹣x2+4x
(2)
解:抛物线对称轴为x=﹣ =2.
∵点C,B关于抛物线的对称轴对称,点B的坐标为(1,3),
∴点C的坐标为(3,3).
∴BC=2,
∴S△ABC= ×2×3=3
(3)
解:过P点作PD⊥BH交BH于点D.
设点P(m,﹣m2+4m),
根据题意得:BH=AH=3,HD=m2﹣4m,PD=m﹣1,
∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD,即6= ×3×3+ (3+m﹣1)(m2﹣4m)﹣ (m﹣1)(3+m2﹣4m).
整理得:3m2﹣15m=0,
解得:m1=0(舍去),m2=5,
∴点P坐标为(5,﹣5)
(4)
解:当CM=MN,且∠CMN=90°时,分情况讨论:
①当点M在x轴上方时,如图2所示:
∵∠CMN=90°,
∴∠BMC+∠NMH=90°.
又∵∠BMC+∠BCM=90°,
∴∠NMH=∠BCM.
在△BCM和△HMN中 ,
∴△CBM≌△MHN.
∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1,
∴M(1,2),N(2,0),
由勾股定理得:MC= = ,
∴S△CMN= × × = .
②当点M在x轴下方时,如图3所示:构造直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC
∵∠NMC=90°,
∴∠NME+∠CMD=90°.
∵∠ENM+∠EMN=90°,
∴∠CMD=∠ENM.
在Rt△NEM和Rt△MDC中
∴Rt△NEM≌Rt△MDC.
∴EM=CD=5,MD=ME=2,
由勾股定理得:CM= = ,
∴S△CMN= × × = ;
综上所述:△CMN的面积为: 或
【解析】(1)把点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx中,求得a、b的值,从而得到抛物线的解析式;(2)先求得抛物线对称轴为x=2,由点B的坐标可得到点C的坐标,从而得到BC的长,然后依据三角形的面积公式求解即可(3)过P点作PD⊥BH交BH于点D.设点P(m,﹣m2+4m),则BH=AH=3,HD=m2﹣4m,PD=m﹣1,然后依据S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD , 列出关于m的方程,从而可求得m的值于是可求得点P的坐标;(4)①当点M在x轴上方时,先证明三角形△CBM≌△MHN,从而可求得BC=MH=2,BM=1,于是可得到点M,N的坐标,然后依据勾股定理求得MC的长,最后依据三角形的面积公式求解即可;②如图3所示:当点M在x轴下方时,过点M作平行与x轴的直线,然后分别过点N和点C作x轴的垂线,从而可构造出直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC,接下来,再证明Rt△NEM≌Rt△MDC,依据全等三角形的性质可得到EM=CD=5,MD=ME=2,然后依据勾股定理可求得CM的长,最后依据三角形的面积公式求解即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】如图,锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O,且OB=OC,∠A=60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
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【题目】已知:等腰△OAB在直角坐标系中的位置如图,点A坐标为,点B坐标为(-6,0).
(1)若将△OAB沿x轴向右平移a个单位,此时点A恰好落在反比例函数的图象上,求a的值;
(2)若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α度(0<α<360).
①当α=30°时,点B恰好落在反比例函数的图象上,求k的值;
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上?若能,直接写出α的值;若不能,请说明理由.
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【题目】如图所示的运算程序中,若开始输入的x值为48,我们发现第一次输出的结果为24,第二次输出输出的结果为12,…则第2014次输出的结果为_____.
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【题目】如图,已知点P是∠AOB角平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4cm,如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为( )
A.2
B.2
C.4
D.4
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【题目】A,B两地相距2400米,甲、乙两人分别从A,B两地同时出发相向而行,乙的速度是甲的2倍,已知乙到达A地15分钟后甲到达B地.
(1)求甲每分钟走多少米?
(2)两人出发多少分钟后恰好相距480米?
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【题目】4月23日是“世界读书日”,学校开展“让书香溢满校园”读书活动,以提升青少年的阅读兴趣,九年级(1)班数学活动小组对本年级600名学生每天阅读时间进行了统计,根据所得数据绘制了两幅不完整统计图(每组包括最小值不包括最大值).九年级(1)班每天阅读时间在0.5小时以内的学生占全班人数的8%.根据统计图解答下列问题:
(1)九年级(1)班有 名学生;
(2)补全直方图;
(3)除九年级(1)班外,九年级其他班级每天阅读时间在1~1.5小时的学生有165人,请你补全扇形统计图;
(4)求该年级每天阅读时间不少于1小时的学生有多少人.
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【题目】用A、B两种规格的长方形纸板(如图1)无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32cm的正方形,已知A种长方形的宽为1cm,则B种长方形的面积是( )
A. 10cm2 B. 12cm2 C. 14cm2 D. 16cm2
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