Question

如图，⊙O的直径CD=4，AD⊥DC，BC⊥DC，AD=2，BC=6，P是⊙O上的一个动点．
（1）求证：OA⊥AB；
（2）若△APB的面积记为S，求S的最大值与最小值，并分别指出此时P点所在的位置；
（3）若以P为圆心，BP长为半径作圆，是否存在⊙P与⊙O相切？请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）过A点作AE⊥BC于E，易得四边形ADCE为矩形，得出EC，AD的关系，BE及AE，DC的长，即可得到△ABE为等腰直角三角形，所以∠BAE=45°，利用△ADO为等腰直角三角形，
得出∠OAD=45°，可得出∠OAB=∠OAE+∠BAE=90°，即OA⊥AB；
（2）设AO及延长线交圆于P₁、P₂点，过P₁作P₁F∥AB交BC于F点，可得出P₁到AB的距离最短，P₂到AB的距离最长，利用三角形的面积公式即可求出S的最大值与最小值，
（3）不存在⊙P与⊙O相切．P在圆上，利用r＜R-r即可得出不存在⊙P与⊙O相切．

解答：（1）证明：如图1，过A点作AE⊥BC于E，

∵AD⊥DC，BC⊥DC，
∴四边形ADCE为矩形      
∴EC=AD=2，
∴BE=6-2=4，AE=DC=4
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAE=45°，
∵△ADO为等腰直角三角形，
∴∠AOD=∠OAD=45°，
∵AE∥DC，
∴∠OAE=45°，
∴∠OAB=∠OAE+∠BAE=90°，
∴OA⊥AB．

（2）解：如图2，设AO及延长线交圆于P₁、P₂点，过P₁作P₁F∥AB交BC于F点，

∵OA⊥AB，
∴P₁到AB的距离最短，P₂到AB的距离最长，
∵△ADO为等腰直角三角形，
∴AO=2

2

，AP₁=2

2

-2，AP₂=2

2

+2，
由（1）可得AB=4

2

，
∴S的最小值为

1

2

AB•AP₁=

1

2

×4

2

×（2

2

-2）=8-4

2

，最大值为

1

2

AB•AP₂=

1

2

×2

2

×（2

2

+2）=8+4

2

．

（3）解：不存在⊙P与⊙O相切．
∵BO=

BC2+OC2

=2

10

，
∴BP的最大值为=2

10

+2，最小值为=2

10

-2，OP=2，
∵P在圆上，
∴两圆的半径之差的范围2

10

-4≤R-r≤2

10

，而r=2＜2

10

-4，
∴两圆不可能相切．

点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及圆，等腰直角三角形及勾股定理等知识，解题的关键是理清题意，正确作出辅助线，灵活运用等腰三角形的性质求出线段的关系．