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(2009•浦东新区二模)如图,已知AB⊥MN,垂足为点B,P是射线BN上的一个动点,AC⊥AP,∠ACP=∠BAP,AB=4,BP=x,CP=y,点C到MN的距离为线段CD的长.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(2)在点P的运动过程中,点C到MN的距离是否会发生变化?如果发生变化,请用x的代数式表示这段距离;如果不发生变化,请求出这段距离;
(3)如果圆C与直线MN相切,且与以BP为半径的圆P也相切,求BP:PD的值.

【答案】分析:(1)求y关于x的函数解析式,可以证明△ABP∽△CAP,根据相似比得出;
(2)C到MN的距离,即CD的长,可以延长CA交直线MN于点E,证明AB∥CD,由平行线的性质得出;
(3)圆C与直线MN相切,且与以BP为半径的圆P也相切,根据圆与圆的位置关系有(i)当圆C与圆P外切时,CP=PB+CD,即y=x+8,(ii)当圆C与圆P内切时,CP=|PB-CD|,即y=|x-8|,结合(1),(2)求出BP:PD的值.
解答:解:(1)∵AB⊥MN,AC⊥AP,
∴∠ABP=∠CAP=90°.
又∵∠ACP=∠BAP,
∴△ABP∽△CAP.(1分)

.(1分)
∴所求的函数解析式为(x>0).(1分)

(2)CD的长不会发生变化.(1分)
延长CA交直线MN于点E.(1分)
∵AC⊥AP,
∴∠PAE=∠PAC=90°.
∵∠ACP=∠BAP,
∴∠APC=∠APE.
∴∠AEP=∠ACP.
∴PE=PC.
∴AE=AC.(1分)
∵AB⊥MN,CD⊥MN,
∴AB∥CD.
.(1分)
∵AB=4,
∴CD=8.(1分)

(3)∵圆C与直线MN相切,
∴圆C的半径为8.(1分)
(i)当圆C与圆P外切时,CP=PB+CD,即y=x+8,

∴x=2,(1分)
∴BP=2,
∴CP=y=2+8=10,
根据勾股定理得PD=6
∴BP:PD=.(1分)
(ii)当圆C与圆P内切时,CP=|PB-CD|,即y=|x-8|,


∴x=-2(不合题意,舍去)或无实数解.(1分)
∴综上所述BP:PD=
点评:本题难度较大,考查相似三角形的判定和性质.切线的性质及圆与圆的位置关系.
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