Question

小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：

问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．求证：S_{四边形ABCD}＝S_△ABF．（S表示面积）

问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值．请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．

实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部分计划以公路OA、OB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB＝66º，∠POB＝30º，OP＝4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km²）（参考数据：sin66º≈0.91，tan66º≈2.25，≈1.73）

拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值．

Answer 1

问题情境：根据已知可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE，从而得出结论。

问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S_△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论。

实际运用：∴。

拓展延伸：截得四边形面积的最大值为10

【解析】

分析：问题情境：根据已知可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE，从而得出结论。

问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S_△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论。

实际运用：如图3，作PP₁⊥OB，MM₁⊥OB，垂足分别为P₁，M₁，再根据条件由三角函数值就可以求出结论。

拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；

当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较即可以求出结论。

解：问题情境：证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE。

∵点E为DC边的中点，∴DE=CE。

∵在△ADE和△FCE中，，

∴△ADE≌△FCE（AAS）。∴S_△ADE=S_△FCE。

∴S_{四边形ABCE}+S_△ADE=S_{四边形ABCE}+S_△FCE，即S_{四边形ABCD}=S_△ABF。

 问题迁移：当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，理由如下：

如图2，过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，

设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，

由问题情境可以得出当P是MN的中点时S_{四边形MOFG}=S_△MON。

∵S_{四边形MOFG}＜S_△EOF，∴S_△MON＜S_△EOF。

∴当点P是MN的中点时S_△MON最小。

实际运用：如图3，作PP₁⊥OB，MM₁⊥OB，垂足分别为P₁，M₁，

在Rt△OPP₁中，∵∠POB=30°，

∴PP₁=OP=2，OP₁=2。

由问题迁移的结论知，当PM=PN时，△MON的面积最小，

∴MM₁=2PP₁=4，M₁P₁=P₁N。

在Rt△OMM₁中，，即，

∴。∴。

∴。

∴。

 拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，

∵C，∴∠AOC=45°。∴AO=AD。

∵A（6，0），∴OA=6。∴AD=6。

∴。

由问题迁移的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小，

∴四边形ANMO的面积最大。

作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足分别为P₁，M₁，

∴M₁P₁=P₁A=2。∴OM₁=M₁M=2，∴MN∥OA。

∴。

②如图5，当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵C、B（6，3），

∴，解得：。

∴直线BC的解析式为。

当y=0时，x=9，∴T（9，0）。

∴。

由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，

∴四边形CMNO的面积最大。

∴NP₁=M₁P₁，MM₁=2PP₁=4。∴，解得x=5。∴M（5，4）。

∴OM₁=5。

∵P（4，2），∴OP₁=4。∴P₁M₁=NP₁=1。∴ON=3。∴NT=6。

∴。

∴。

∴综上所述：截得四边形面积的最大值为10。