Question

如图1，y=

1

2

x+1交x轴于A，交y轴于B，C（m，m）是直线AB上一点，反比例函数y=

k

x

经过C点
（1）求C点坐标及反比例函数解析式；
（2）如图2，D为反比例函数上一点，以CB，CD为边作平行四边形BCDE，问四边形BCDE能否是正方形？如果能，求出D点和另一顶点E的坐标；如果不存在，说明理由；
（3）如图3，过C点任作一直线，P为该直线上一点，满足∠BPE=135°，求证：PC-PE=

2

PB．

Answer 1

分析：（1）首先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，进而求出C点的坐标，从而得出反比例函数的解析式；
（2）利用两点之间距离公式，求出BC的长进而得出CD的长，进而求出E点的坐标；
（3）利用三角形旋转的性质得出C，M，P三点共线，即PC-PE=PM=

2

BP．

解答：解：（1）∵y=

1

2

x+1交x轴于A，交y轴于B，
y=

1

2

x+1交x轴于A，
∴0=

1

2

x+1，
解得：x=-2，
A点的坐标为：（-2，0），
∵y=

1

2

x+1交y轴于B，
∴y=1，
∴B点的坐标为：（0，1），
∵C（m，m）是直线AB上一点，
∴m=

1

2

m+1，
解得：m=2，
C点的坐标为：（2，2），
∴反比例函数解析式为：y=

4

x

；

（2）∵C点的坐标为：（2，2），
B点的坐标为：（0，1），
∴BC=

5

，
当CD=

5

，
∴D点的坐标为：（1，4），
代入y=

4

x

，得出，（1，4）正好在函数图象上，
∴E点的坐标为：（-1，3）；

（3）将△BPE绕点B顺时针旋转90°到△BMC，连接PM，
∵△BPM是等腰直角三角形，又∠BMC=135°，
∴C，M，P三点共线，
∴PC-PE=PM=

2

BP，
即PC-PE=

2

PB．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，利用三角形相似求出对应边之间的大小关系进而得出CF=

2

PB是解决问题的关键．