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【题目】若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc0)与直线l都经过y轴上的同一点,且抛物线L的顶点在直线l上,则称次抛物线L与直线l具有一带一路关系,并且将直线l叫做抛物线L路线,抛物线L叫做直线l带线”.

(1)若路线”l的表达式为y=2x﹣4,它的带线”L的顶点的横坐标为﹣1,带线”L的表达式;

(2)如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有一带一路关系,求m,n的值;

(3)设(2)中的带线”L与它的路线”ly轴上的交点为A.已知点P带线”L上的点,当以点P为圆心的圆与路线”l相切于点A时,求出点P的坐标.

【答案】(1)带线”L的表达式为y=2x2+4x4;(2m=2n=2;(3P的坐标为( ).

【解析】试题分析:

(1)由“路线l”的表达式为:y=2x-4可得,“路线l”与y轴交于点(0,-4);把x=-1代入y=2x-4可得y=-6,由此可得“带线L”的顶点坐标为(-1,-6),结合“带线L”过点(0,-4)即可求得“带线L”的解析式;

2)由y=mx2﹣2mx+m﹣1=m(m-1)2-1可得“带线L”的顶点坐标为(1-1),与y轴交于点0m-1),把这两个点的坐标代入y=nx+1即可求得mn的值;

3如图,由(2)可知,若设“带线L”的顶点为B,则点B坐标为(11),过点BBCy轴于点C连接PA并延长交x轴于点D,由⊙P路线l相切于点A可得PDl于点A,由此证RtAODRtBCA即可求得点D的坐标,结合点A的坐标即可求得AD的解析式为y=x+1,由AD的解析式和“带线L”的解析式组成方程组,解方程组即可求得点P的坐标.

试题解析

((1带线”L的顶点横坐标是﹣1,且它的路线l的表达式为y=2x﹣4

y=2×﹣1﹣4=﹣6

带线”L的顶点坐标为(﹣1﹣6).

L的表达式为y=ax+12﹣6

路线”y=2x﹣4y轴的交点坐标为(0﹣4

带线”L也经过点(0﹣4),将(0﹣4)代入L的表达式,解得a=2

带线”L的表达式为 y=2x+12﹣6=2x2+4x﹣4

2∵直线y=nx+1y轴的交点坐标为(01),

∴抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1y轴的交点坐标也为(01),解得m=2

∴抛物线表达式为y=2x2﹣4x+1,其顶点坐标为(1﹣1

直线y=nx+1经过点(1﹣1),解得n=﹣2

3如图,设“带线L”的顶点为B,则点B坐标为(1﹣1),过点BBCy轴于点C

∴∠BCA=90°

又∵点A 坐标为(01),

AO=1BC=1AC=2

∵“路线”l是经过点AB的直线

且⊙P路线l相切于点A,连接PA x轴于点D

PAAB

∴∠DAB=∠AOD=90°

∴∠ADO+∠DAO=90°

∵∠DAO+∠BAC=90°

∴∠ADO=∠BAC

RtAODRtBCA

OD=AC=2

∴D点坐标为(﹣20

经过点DA的直线表达式为y=x+1

∵点P为直线y=x+1与抛物线Ly=2x24x+1的交点,

解方程组 (即点A舍去),

∴点P的坐标为

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