Question

9．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x²-18x+72=0的两根（OA＞OC），$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{4}$，点E的横坐标为3，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点E．
（1）求k的值；
（2）若直线AB与反比例函数图象上除点E外的另一交点为P，求三角形ECP的面积；
（3）若点M在坐标轴上，在平面内是否存在一点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边？若存在，直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先解一元二次方程，得出OA，OC，即可得，点A，C坐标，进而求出OB，得出B点坐标，进而求出直线AB解析式，即可得出点坐标，即可；
（2）借助（1）的结论，求出点P坐标，再用面积的差求出三角形ECP的面积；
（3）先确定出直线CE解析式，再过点E作直线CE的垂线与坐标轴相较于M，M'，求出MM'的解析式，进而根据矩形的性质，求出直线BN，CN，M'N'最后求直线交点坐标即可．

解答 解：（1）∵线段OA、OC的长是一元二次方程x²-18x+72=0的两根（OA＞OC），
∴OC=6，OA=12，
∴A（12，0），C（-6，0），
∵$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{4}$，
∴OB=$\frac{4}{3}$OA=16，
∴B（0，16），
设直线AB解析式为y=k'x+16，
∴12k'+16=0，
∴k'=-$\frac{4}{3}$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+16，
∵AB与CD相交于点E，点E的横坐标为3，
∴E（3，12），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点E，
∴k=3×12=36，
（2）如图1，

∵点P在直线AB上，
∴设P（m，-$\frac{4}{3}$m+16），
由（1）知，k=36，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{36}{x}$，
∵点P还在反比例函数的图象上，
∴m×（-$\frac{4}{3}$m+16）=36，
∴m=3，或m=9，
∴P（9，4），
由（1）知，A（12，0），C（-6，0），E（3，12）
∴AC=18
∴S_△ECP=S_△ECA-S_△PCA=$\frac{1}{2}$AC×|y_E|-$\frac{1}{2}$AC×|y_P|=$\frac{1}{2}$AC×（|y_E|-|y_P|）=$\frac{1}{2}$×18×（12-4）=72；
（3）如图2，由（1）知，C（-6，0），E（3，12），
∴直线CE解析式为y=$\frac{4}{3}$x+8，
∵以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形且线段CE为矩形的一条边，
∴过点E作MM'⊥CE，
∴直线MM'的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{57}{4}$④，
∴M（0，$\frac{57}{4}$）．M'（19，0），
过点M作MN∥CE，
∴直线MN解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{57}{4}$，①
过点C作CN⊥MN，
∴直线CN的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$②
①联立①②得，x=-9，y=$\frac{9}{4}$，
∴N（-9，$\frac{9}{4}$），
②过点M'作M'N'⊥MM'交直线CN于N'
∴直线M'N'的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{76}{3}$③，
联立②③得，x=10，y=-12，
∴N'（10，-12），
③过M''作M''N'⊥CN交MM'于N，
∵直线CN的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$
∴M''N''的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{9}{2}$⑤，
联立④⑤解得，x=9，y=$\frac{15}{2}$，
∴N''（9，$\frac{15}{2}$）
∴满足条件的N点的坐标为（-9，$\frac{9}{4}$）、（9，$\frac{15}{2}$）或（10，-12）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求直线解析式，三角形的面积的计算方法，解本题的关键确定出直线解析式．