Question

已知抛物线y=-x²+mx-m+2．
（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=

5

，试求m的值；
（Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值．

Answer 1

分析：（1）让y=0，利用根与系数的关系表示出较大的根减去较小的根，求解即可；
（2）在求△CMN的面积时，要结合图象，已知条件，可以发现S_△COM=S_△CON．而△MNC的面积等于S_△COM+S_△CON．

解答：解：（1）设点A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁，x₂是方程-x²+mx-m+2=0的两根．
∵x₁+x₂=m，x₁•x₂=m-2＜0即m＜2，
又∵AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

，
∴m²-4m+3=0．
解得：m=1或m=3（舍去），
故m的值为1．

（2）设M（a，b），则N（-a，-b）．
∵M、N是抛物线上的两点，
∴

-a2+ma-m+2=b…① -a2-ma-m+2=-b…②

①+②得：-2a²-2m+4=0，
∴a²=-m+2，
∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N，
∴a=±

2-m

．
这时M、N到y轴的距离均为

2-m

，
又∵点C坐标为（0，2-m），而S_△MNC=27，
∴2×

1

2

×（2-m）×

2-m

=27，
解得m=-7．

点评：主要考查了二次函数的图象性质与一元二次方程根与系数之间的关系，以及表达图形面积的方法．