Question

已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）、点B（0，-

3

），O为坐标原点，∠ABO=30°．以线段AB为边在第三象限内作等边△ABC．
（1）求直线AB的解析式；      
（2）求出点C的坐标；
（3）若在第三象限内有一点P（m，-

1

2

），且△ABP的面积和△ABC的面积相等，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先设直线AB的解析式为y=kx+b，再把点A（-1，0）和点B（0，-

3

）代入，求出k、b的值，即可得出直线AB的解析式；
（2）根据A、B点的坐标，求出AB的值，再根据∠ABO=30°，△ABC为等边三角形，得出AB=CB=2，∠OBC=∠ABC+∠ABO=60°+30°=90°，即可求出点C的坐标；
（3）先过点C作CE∥AB，交y轴于点E，得出∠BEC=∠ABO=30°，根据特殊角的三角函数值求出OE的值，得出点E的坐标，再设直线CE的解析式为y=ax+n（a≠0），求出a，n的值，得出直线CE的解析式，若△ABP的面积和△ABC的面积相等，则点P在直线CE上，求出m的值．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵直线AB与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）、点B（0，-

3

），
∴

-k+b=0 b=- 3

，
解得：

b=- 3 k=- 3

，
∴直线AB的解析式为y=-

3

x-

3

；

（2）∵A（-1，0）、B（0，-

3

），
∴AB=

AO2+OB2

=

12+( 3 )2

=2，
∴∠ABO=30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB=2，∠OBC=∠ABC+∠ABO=60°+30°=90°，
∴点C的坐标是（-2，-

3

）；

（3）过点C作CE∥AB，交y轴于点E，则∠BEC=∠ABO=30°，
∵BC=2，
∴BE=

BC

tan∠BEC

=

2

tan30°

=2

3

，
∴OE=3

3

，
∴点E的坐标是（0，-3

3

），
设直线CE的解析式为y=ax+n（a≠0），
则a=-

3

，n=-3

3

，
∴直线CE的解析式为y=-

3

x-3

3

，
若△ABP的面积和△ABC的面积相等，
则点P在直线CE上，
则

1

2

=-

3

m-3

3

，
m=

3

6

-3．

点评：此题考查了一次函数综合题，用到的知识点是：坐标与图形性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法确定一次函数解析式，平行线的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．