Question

2．如图所示，圆内接四边形ABCD中，CD为∠ACB的外角的平分线，F为$\widehat{AD}$上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E，求证：
（1）求证：∠DCM=∠BAD，并用文字叙述这个结论；
（2）求证：AD=BD；
（3）求证：AC•AF=DF•FE．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD=180°，由平角的定义得到∠MCD+∠BCD=180°，等量代换得到∠DCM=∠BAD，即圆内接四边形的外角等于它的内对角；
（2）CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可；
（3）由在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，得出△CDA∽△FAE，即可推出CD•EF=AC•AF．

解答 证明：（1）∵圆内接四边形ABCD中，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠MCD+∠BCD=180°，
∴∠DCM=∠BAD，
即圆内接四边形的外角等于它的内对角；

（2）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
∵∠MCD+∠DCB=180°，
∴∠MCD=∠DAB，
∵CD为∠BCA的外角的平分线，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，
∴∠DCA=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA；

（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF，
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，
即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△CDA∽△FAE，
∴CD•EF=AC•AF，
∴AC•AF=DF•EF．

点评 本题主要考查了圆内接四边形，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．