Question

18．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
（1）判断方程根的情况；
（2）若方程的两根x₁、x₂满足（x₁-1）（x₂-1）=5，求k值；
（3）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，
①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系进行解答；
（3）利用分解因式法可求出x₁=k+1，x₂=k+2．①不妨设AB=k+1，AC=k+2，根据BC=5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB=BC、AC=BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论

解答 解：（1）∵在方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0中，△=b²-4ac=[-（2k+3）]²-4（k²+3k+2）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．

（2）∵x₁+x₂=2k+3，x₁•x₂=k²+3k+2，
∴由（x₁-1）（x₂-1）=5，得
x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=5，即k²+3k+2-2k-3+1=5，
整理，得
k²+k-5=0，
解得k=$\frac{-1±\sqrt{21}}{2}$；

（3）∵x²-（2k+3）x+k²+3k+2=（x-k-1）（x-k-2）=0，
∴x₁=k+1，x₂=k+2．
①不妨设AB=k+1，AC=k+2，
∴斜边BC=5时，有AB²+AC²=BC²，即（k+1）²+（k+2）²=25，
解得：k₁=2，k₂=-5（舍去）．
∴当k=2时，△ABC是直角三角形
②∵AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由（1）知AB≠AC，
故有两种情况：
（Ⅰ）当AC=BC=5时，k+2=5，
∴k=3，AB=3+1=4，
∵4、5、5满足任意两边之和大于第三边，
∴此时△ABC的周长为4+5+5=14；
（II）当AB=BC=5时，k+1=5，
∴k=4，AC=k+2=6，
∵6、5、5满足任意两边之和大于第三边，
∴此时△ABC的周长为6+5+5=16．
综上可知：当k=3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；当k=4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16．

点评 本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式△＞0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键．