Question

【题目】在平面直角坐标系中,已知点A在y轴的正半轴上,点B在第二象限,AO=a,AB=b,BO与x轴正方向的夹角为150°,且a2b2+ab=0.

(1)试判定△ABO的形状；

(2)如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、BD交于E，求证：AE=BE+CE；

(3)如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系?试证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）△AOB为等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）AP=2AO，证明见解析；

【解析】

（1）△ABO为等边三角形，理由为：根据（a2-b2）+（a-b）=0，得到a=b，再由BO与x轴正方向的夹角为150°得到∠AOB=60°，即可得证；

（2）在AC上截取AM=CE，先证∠AEB=60°，方法是根据题意得到△ABO为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，确定出∠ABD度数，根据AB=BC，且∠ABC=120°，得到∠BAE度数，进而确定出∠AEB为60°，再由AM=CE，得到AE=CM，再由AB=CB，且夹角∠BAC=∠BCA，利用SAS得到△BCM与△BAE全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM=BE，得到△BEM为等边三角形，得到BE=EM，由AE=EM+AM，等量代换即可得证；

（3）AP=2AO，理由为：由题意得到BG=BE，AB=OB，利用等式的性质得到∠ABG=∠OBE，利用SAS得到△ABG与△OBE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠GAB=∠BOE=60°，利用外角的性质得到∠APO=30°，在Rt△AOP中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到AP=2AO．

(1)结论：△ABO为等边三角形，

理由：∵a2b2+ab=(a+b)(ab)+(ab)=(ab)(a+b+1)=0，

∴ab=0,得到a=b,即AO=AB

∵OB与x轴正半轴夹角为150°

∴∠AOB=150°90°=60°

∴△AOB为等边三角形；

(2)证明：在AC上截取AM=EC，可得AM+EM=CE+EM，即AE=CM.

∵△AOB为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形

∴∠OBC=90°,∠ABO=60°

∵D为CO的中点

∴BD平分∠OBC,即∠CBD=∠OBD=45°

∴∠ABD=105°,∠ABC=150°

∴∠BAC=∠BCA=15°

∴∠AEB=60°

在△ABE和△CBM中

，

∴△ABE≌△CBM(SAS)

∴BM=BE

∴△BEM为等边三角形

∴BE=EM

∴AE=AM+EM=CE+BE；

(3)结论：AP=2AO，

理由：∵△AOB与△BGE都为等边三角形

∴BE=BG,AB=OB,∠EBG=∠OBA=60°

∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA

即∠ABG=∠OBE

在△ABG和△OBE中

，

∴△ABG≌△OBE(SAS)

∴∠BAG=∠BOE=60°

∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°

∵∠GAO为△AOP的外角

且∠AOP=90°

∴∠APO=30°

在Rt△AOP中,∠APO=30°

∴AP=2AO.