Question

已知抛物线y=3x²+2x+n，
（1）若n=-1，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把n=-1，y=0代入抛物线解析式，通过解一元二次方程可求得交点坐标．
（2）分3种情况．第1种：△=0，n=

1

3

；
第2种：把x=-1代入函数使y大于0，且把x=1代入函数，使y小于0，解这个不等式，可得n的取值范围；
第3种：把x=-1代入函数使y小于0，且把x=1代入函数，使y大于0，解这个不等式组，可得n的取值范围．
综合这三个结果即可得n的范围．在2，3种情况下必须保证△大于0．

解答：解：（1）当n=-1时，抛物线为y=3x²+2x-1，
方程3x²+2x-1=0的两个根为：x=-1或x=

1

3

．
∴该抛物线与x轴交点的坐标是（-1，0）和（

1

3

，0）；（2分）
（2）∵抛物线与x轴有公共点，
∴对于方程3x²+2x+n=0，判别式△=4-12n≥0，
∴n≤

1

3

．（3分）
①当n=

1

3

时，由方程3x²+2x+

1

3

=0，解得x₁=x₂=-

1

3

．此时抛物线为y=3x²+2x+

1

3

与x轴只有一个公共点（-

1

3

，0）；（4分）
②当n＜

1

3

时，
x₁=-1时，y₁=3-2+n=1+n；
x₂=1时，y₂=3+2+n=5+n；
由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=-

1

3

，
应有y₁≤0，且y₂＞0即1+n≤0，且5+n＞0．（5分）
解得：-5＜n≤-1．（6分）
综合①，②得n的取值范围是：n=

1

3

或-5＜n≤-1．（7分）

点评：考查二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．