Question

【题目】如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D和E分别是AC、AB上的点，CE⊥BD，垂足为F

（1）

①求证：D为AC的中点；②计算的值．

（2）若，如图2，则＝　 　（直接写出结果，用k的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②；（2）.

【解析】

（1）①先证明△CDF∽△BDC，再利用相似的性质即可解答

②过点A作直线BD的垂线，交BD延长线于G，则AG∥CF，得到，再利用勾股定理求出CF,BD，即可解答

（2）根据题意可知△CDF∽△BDC，再利用相似的性质求出＝k﹣1，过点A作直线BD的垂线，交BD延长线于G，则AG∥CF，得到AG＝（k﹣1）CF，GD＝（k﹣1）FD，再根据勾股定理即可解答

（1）①证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥BD，

∴∠BCD＝∠CFD＝90°．

∴∠BCF＝∠CDF（同角的余角相等）．

∴△CDF∽△BDC．

∴．

∵，AC＝BC，

∴．

∴D为AC的中点；

②如图1，过点A作直线BD的垂线，交BD延长线于G，则AG∥CF，

∴△ADG∽△CDF．

∴．

∴AG＝CF，GD＝FD．

在直角△CFD中，CF＝2DF，CD2＝DF2+CF2，易得CF＝ CD．

在直角△BCD中，BC＝2CD，BD2＝CD2+BC2，易得BD＝ CD．

由tan∠EBF＝tan∠ABG知，．

∴．

（2）∵∠ACB＝90°，CE⊥BD，

∴∠BCD＝∠CFD＝90°．

∴∠BCF＝∠CDF（同角的余角相等）．

∴△CDF∽△BDC．

∴．

∵，AC＝BC，

∴．

∴＝k﹣1；

如图2，过点A作直线BD的垂线，交BD延长线于G，则AG∥CF，

∴△ADG∽△CDF．

∴＝k﹣1．

∴AG＝（k﹣1）CF，GD＝（k﹣1）FD．

在直角△CFD中，CF＝kDF，CD2＝DF2+CF2，易得CF＝ ．

在直角△BCD中，BC＝kCD，BD2＝CD2+BC2，易得BD＝ CD．

由tan∠EBF＝tan∠ABG知，．即．

∴．

故答案是：．