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    3．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1
    （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
    （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
    ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

    分析 （1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；
    （2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

    解答 解：
    （1）∵抛物线y=-x2+bx+c对称轴是直线x=1，
    ∴-$\frac{b}{2×（-1）}$=1，解得b=2，
    ∵抛物线过A（0，3），
    ∴c=3，
    ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3，
    令y=0可得-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
    ∴B点坐标为（3，0）；
    （2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，
    ∵P在抛物线上，
    ∴P（2t，-4t2+4t+3），
    ∵四边形OMPN为矩形，
    ∴ON=PM，
    ∴3t=-4t2+4t+3，解得t=1或t=-$\frac{3}{4}$（舍去），
    ∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
    ②∵A（0，3），B（3，0），
    ∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=-x+3，
    ∴当t＞0时，OQ≠OB，
    ∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，
    由题意可知OM=2t，
    ∴Q（2t，-2t+3），
    ∴OQ=$\sqrt{（2t）^{2}+（-2t+3）^{2}}$=$\sqrt{8{t}^{2}-12t+9}$，BQ=$\sqrt{（2t-3）^{2}+（-2t+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$|2t-3|，
    又由题意可知0＜t＜1，
    当OB=QB时，则有$\sqrt{2}$|2t-3|=3，解得t=$\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$（舍去）或t=$\frac{6-3\sqrt{2}}{4}$；
    当OQ=BQ时，则有$\sqrt{8{t}^{2}-12t+9}$=$\sqrt{2}$|2t-3|，解得t=$\frac{3}{4}$；
    综上可知当t的值为$\frac{6-3\sqrt{2}}{4}$或$\frac{3}{4}$时，△BOQ为等腰三角形．

    点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用t表示出PM和ON的长是解题的关键，在②中用t表示出Q点的坐标，进而表示出OQ和BQ的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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