Question

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-5，0），B（5，0），D（2，7），连接AD交y轴于C点．
（1）求C点的坐标；
（2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）．设从出发起运动了x秒．                  
①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标；
②当x=2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）作DE⊥x轴，根据点的坐标求出AE、DE、AO，根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）①根据题意、结合图形解答；
②分E在y轴的正半轴和E在y轴的负半轴两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）作DE⊥x轴，
∵A（-5，0），D（2，7），
∴AE=DE=7，AO=5，
∵△CAO，△DAE为直角三角形，
∴∠CAO=45°，
∴△CAO是等腰直角三角形，
∴CO=AO=5，
∴C（0，5）；
（2）①P（5-x，0），Q（0，5+x）；
②存在．设E的坐标为（0，y）
当x=2时，△APQ=（5+3）×7÷2=28，
情况一：E在y轴的正半轴
（y-7）×5÷2=28
y=18.2
∴E（0，18.2）
情况二：E在y轴的负半轴
（7-y）×5÷2=28
y=-4.2
∴E（0，-4.2）
则点E的坐标为：（0，18.2）或（0，-4.2）．

点评 本题考查的是坐标与图形特征、直角三角形的性质，根据点的坐标确定线段的长度、掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．