Question

【题目】如图，是边长为9的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于

（1）若时，求的长

（2）当点，运动时，线段与线段是否相等？请说明理由

（3）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生变化，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）当∠BQD=30° 时，AP=3；（2）相等，见解析；（3）DE的长不变，

【解析】

（1）先判断出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性质得出QC＝2PC，建立方程求解决即可；

（2）先作出PF∥BC得出∠PFA＝∠FPA＝∠A＝60°，进而判断出△DBQ≌△DFP得出DQ＝DP即可得出结论；

（3）利用等边三角形的性质得出EF＝AF，借助DF＝DB，即可得出DF＝BF，最后用等量代换即可．

（1）解：∵△ABC是边长为9的等边三角形

∴∠ACB=60°，且∠BQD=30°

∴∠QPC=90°

设AP=，则PC=，QB=

∴QC=

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°

∴PC=QC 即

解得

∴ 当∠BQD=30° 时，AP=3

（2）相等,

证明：过P作PF∥QC，则△AFP是等边三角形

∴AP=PF,∠DQB=∠DPF

∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP，

∴BQ=PF，

在△DBQ和△DFP中，

∴△DBQ≌△DFP(AAS)

∴QD=PD

（3）解：不变,

由（2）知△DBQ≌△DFP

∴BD=DF

∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，

∴AE=EF，

∴DE=DF+EF=BF+FA=AB=为定值，即DE的长不变.