Question

4．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至点G，使得DG=BD，连结EG，FG．若AE=DE，则下列结果错误的是（　　）

• A． ∠A=60°
• B． ∠EBF=60°
• C． $\frac{GD}{ED}$=2
• D． $\frac{GE}{ED}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 连接AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠A=60°；根据等边三角形三线合一的性质，即可得到∠EBF=60°；根据DG=BD=AD，AE=DE，即可得到DG=2DE，据此可得
$\frac{GD}{ED}$的值；设EF与BD相交于点H，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出DH，从而得到GH，利用勾股定理列式求出EG，最后求出比值即可．

解答 解：如图，连接AC、EF，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴AB=BD，
又∵菱形的边AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A=60°，故A选项正确；

∵△ABD是等边三角形，BE⊥AD，
∴∠EBD=30°，
同理可得，∠FBD=30°，
∴∠EBF=60°，故B选项正确；

∵DG=BD=AD，AE=DE，
∴DG=2DE，
∴$\frac{GD}{ED}$=2，故C选项正确；

设EF与BD相交于点H，AB=4x，
∵AE=DE=CF=DF=2x，
∴EF是△ACD的中位线，
∴DH=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{1}{4}$BD=x，
在Rt△EDH中，EH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$x，
∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG=$\sqrt{E{H}^{2}+G{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$x，
∴$\frac{EG}{ED}$=$\frac{2\sqrt{7}x}{2x}$=$\sqrt{7}$，故D选项错误．
故选：D．

点评 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理的综合应用，难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线．