Question

8．已知关于x的一元二次方程mx²+（m+2）x+$\frac{m}{4}$=0有两不等根x₁，x₂
（1）求m的取值范围； 
（2）是否存在$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=0的m的值？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（m+2）²-4m×$\frac{m}{4}$=4m+4＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-$\frac{m+2}{m}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，再把$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$变形，然后利用m的取值范围确定满足条件的m的值．

解答 解：（1）∵一元二次方程mx²+（m+2）x+$\frac{m}{4}$=0有两不等根，
∴△=（m+2）²-4m×$\frac{m}{4}$=4m+4＞0，
解得：m＞-1；
（2）∵一元二次方程mx²+（m+2）x+$\frac{m}{4}$=0有两不等根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{m+2}{m}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{4（m+2）}{m}$=0，
∴m=-2，
∵m＞-1，
∴不存在$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=0的m的值．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．