Question

正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，设格点多边形各边上的格点的个数和为a，格点边多边形内部的格点个数和为b，格点多边形的面积为S，图l、图2是两个格点多边形．
（1）根据图中提供的信息填表：

一般格点多边形	a	b	a+2b	S
多边形1（图1）	6	1
多边形2（图2）	7	2	11
…	…	…	…	…

（2）在给定的正三角形网格中分别画出一个面积为3、4、5的格点多边形：
（3）猜想S与a、b之间的关系：S=

 

（用含a、b的代数式表示）；
（4）若一个格点多边形的面积为S，b是否存在最大值和最小值？若存在求出最大值和最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据数值，通过图形填出答案即可；
（2）由数值和图形直接画出即可；
（3）由（1）（2）的计算方法得出一般规律即可；
（4）因为2b+2为偶数，则a和s同奇或同偶，题目问b是否为最大值或最小值，显然，取一行平行四边形来观察，不管S取什么值时，存在最小值b=0，接下来讨论b的最大值，从s=a+2b-2得出，a值得取最小值．因为S值可以奇数也可以取偶数，所以a的最小值就有两种情况：①当a为奇数时； ②当a为偶数时；分别把a值代入公式s=a+2b，得出答案即可．

解答：解：（1）答案如下：

一般格点多边形	a	b	a+2b	S
多边形1（图1）	6	1	8	6
多边形2（图2）	7	2	11	9
…	…	…	…	…

（2）画图如下：


（3）因为6=8-2=6+2×1-2，
9=11-2=7+2×2-2，
…
所以S与a、b之间的关系：S=a+2（b-1）；

（4）因为2b+2为偶数，则a和S同奇或同偶，如图所示，题目问b是否为最大值或最小值，显然，取一行平行四边形来观察，不管S取什么值时，存在最小值b=0，接下来讨论 b的最大值，从s=a+2b-2得出，a值得取最小值．因为S值可以奇数也可以取偶数，所以a的最小值就有两种情况：
①当a为奇数时，最小值a=3                        
②当a为偶数时，最小值a=4．
分别把a值代入公式s=a+2b，得最大值b=

1

2

（s-1）或最大值b=

1

2

s-1．

点评：考查了作图-应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．