Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF=FM．

（2）当AE=2时，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）EF=5．

【解析】试题分析：（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；

（2）由第一问的全等得到AE=CM=2，正方形的边长为6，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．

（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，

∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴F、C、M三点共线，

∴DE=DM，∠EDM=90°，

∴∠EDF+∠FDM=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDF=45°，

在△DEF和△DMF中，

，

∴△DEF≌△DMF（SAS），

∴EF=MF；

（2）解：设EF=MF=x，

∵AE=CM=2，且BC=6，

∴BM=BC+CM=6+2=8，

∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，

∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

则EF=5．