Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，4），动点C是从点A出发，向O点运动，到达0点时停止运动，过点C作EC⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接OE交AB于F点，连接AE，在动点C的运动过程中，若△AOF的面积是△AEF面积的2倍，求点C的坐标？
（3）在动点C的运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知点A（4，0），B（0，4），根据待定系数法可求二次函数的解析式；
（2）根据待定系数法可求直线AB的表达式，设点C坐标为（m，0）（m＞0），则D（m，4-m），E（m，-m²+3m+4），根据当2S_△AEF=S_△AOF时，同高不同底，可得2EF=OF，再根据平行线分线段成比例可得DE=2，依此可得关于m的方程，求得m的值，从而得到点C的坐标；
（3）分DF=EF，DE=DF两种情况讨论可得△DEF为等腰三角形时点F的坐标．

解答：解：（1）∵点A（4，0），B（0，4）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴

-16+4b+c=0 c=4

，
解得：b=3，c=4，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+3x+4．  

（2）设直线AB的表达式为：y=kx+b（k≠0）
∵过点A（4，0），B（0，4）
∴解析式y=-x+4
设点C坐标为（m，0）（m＞0），则D（m，4-m），E（m，-m²+3m+4）
∴DE=-m²+4m
∵直线AB将△AOE的面积分为1：2两部分
当2S_△AEF=S_△AOF时，同高不同底，
∴2EF=OF
∵DE∥OB
∴OB：DE=OF：EF
∴DE=2
∴-m²+4m=2
∴m₁=2+

2

m₂=2-

2

∴C坐标为（2+

2

，0）或（2-

2

，0）．

（3）点F坐标为（2，2）或（2

2

，4-2

2

）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法可求二次函数的解析式，待定系数法可求直线AB的表达式，三角形的面积，平行线分线段成比例，方程思想，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．