Question

如图，?ABOC的顶点A、B、C在二次函数y=(

7

6

-c)x2+bx+c的图象上，又点A、B分别在y轴和x轴上，∠ABO=45°．求此二次函数的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：计算题

分析：过C作CD垂直于x轴，由四边形ABOC为平行四边形，得到对边平行且相等，由两直线平行得到一对同位角相等，再由一对直角相等，根据AAS可得出三角形ABO与三角形COD全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CD=AO，令抛物线解析式中x=0，求出对应的y值，表示出A的坐标，进而确定出OA的长，由∠ABO=45°，∠AOB=90°，得到三角形ABO为等腰直角三角形，可得出AO=BO，得出B的坐标，由三角形CDO也为等腰直角三角形，可得出OD=CD=OA，由OA的长得出OD及CD的长，表示出C的坐标，将表示出的C及B的坐标代入抛物线解析式中，并根据c不为0化简后，得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线的解析式．

解答：解：过C作CD⊥x轴，

∵四边形ABOC为平行四边形，
∴AB=CO，AB∥CO，
∴∠ABO=∠COD，
在△ABO与△COD中，

∠AOB=∠CDO=90° ∠ABO=∠COD AB=CO

，
∴△ABO≌△COD（AAS），
∴AO=CD，
令y=（

7

6

-c）x²+bx+c中x=0，解得：y=c，
∴点A的坐标为（0，c），AO=c（c＞0），
∵∠ABO=45°，∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，即△AOB为等腰直角三角形，
∴BO=AO=c，
∴点B的坐标为（-c，0），
又△COD为等腰直角三角形，
∴CD=OD，
∵AC∥BO，AC=BO=c，又CD=AO，
∴CD=OD=c，
∴点C的坐标为（c，c），
将B和C的坐标代入抛物线解析式得：

( 7 6 -c)c2-bc+c=0  ( 7 6 -c)c2+bc+c=c

，
由c≠0，化简得：

( 7 6 -c)c-b+1=0① ( 7 6 -c)c+b=0②

，
由②得：（

7

6

-c）c=-b③，
将③代入①得：-b-b+1=0，即2b=1，
解得：b=

1

2

，
将b=

1

2

代入③得：（

7

6

-c）c=-

1

2

，
整理得：6c²-7c-3=0，即（2c-3）（3c+1）=0，
解得：c=

3

2

或c=-

1

3

（点C在第一象限，故不合题意舍去），
∴

b= 1 2 c= 3 2

，
则抛物线解析式为y=-

1

3

x²+

1

2

x+

3

2

．

点评：此题考查了二次函数的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及利用待定系数法求抛物线的解析式，根据题意表示出B及C的坐标是解本题的关键．