Question

12．如图，抛物线y=ax²+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点A关于DE的对称点为M，连接BM，求BM的长．
注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）

Answer 1

分析 （1）将点A与点B坐标代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）利用顶点坐标公式求出D点坐标、对称轴，得出点M的坐标，过点M作MN⊥x轴于点N，则N（2，0），在Rt△BMN中，根据勾股定理即可求出BM的长．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），
∴将A（0，3），B（-1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3=c}\\{0=a-2+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$．
则抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）由顶点坐标（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{2a}$）得：D（1，4），
∵抛物线的对称轴与x轴交于点E，
∴OE=1，
∴对称轴为x=1，
∵点A关于DE的对称点为M，
∴M（2，3），
如图所示：过点M作MN⊥x轴于点N，
则N（2，0），
∴BN=3，MN=3，
在Rt△BMN中，根据勾股定理得：BM=$\sqrt{M{N}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、求抛物线的顶点坐标、勾股定理、坐标与图形性质；用待定系数法求出二次函数的解析式是解决问题的关键．