Question

18．将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点A与对角线BD上的点F重合．

（1）如图1，若点F恰是BD的中点，则$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{3}$；
（2）如图2，若点F是BD的三等分点，求$\frac{AE}{AD}$的值；
（3）如图3，若点F是BD的n等分点，试猜想$\frac{AE}{AD}$的值（不需要证明）

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质，BF=AB，AE=EF，由于点F恰是BD的中点，所以BD=2BF=2AB，由sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}=\frac{EF}{DE}=\frac{1}{2}$，可知$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{3}$；
（2）若点F是BD的三等分点，则BD=3BF=3AB，sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}=\frac{EF}{DE}$=$\frac{1}{3}$，可知$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{4}$；
（3）若点F是BD的n等分点，则BD=nBF=nAB，sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}=\frac{EF}{DE}$=$\frac{1}{n}$，可知$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{n+1}$．

解答 解：（1）根据折叠的性质，BF=AB，AE=EF，
∵点F恰是BD的中点，
∴BD=2BF=2AB，
∴sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}=\frac{EF}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$；
（2）∵点F是BD的三等分点，
∴BD=3BF=3AB，
∴sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}=\frac{EF}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{4}$；
（3）∵点F是BD的n等分点，
∴BD=nBF=nAB，
∴sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}=\frac{EF}{DE}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，运用锐角三角函数或相似三角形转移线段比是解决问题的关键．