Question

16．正方形ABCD的边长为6，E为直线CD上一点，且∠DAE=30°，折叠正方形ABCD，使点A与点E重合，折痕MN交AD边于点M，交正方形的另一边于点N，则线段CN的长为6-2$\sqrt{3}$或2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 ①如图1，点E在CD的延长线上，解直角三角形得到DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2$\sqrt{3}$，AE=4$\sqrt{3}$，根据折叠的性质得到MN⊥AE，AF=EF=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，求得EN=4$\sqrt{3}$，于是得到结论；②如图2，点E在CD上，解直角三角形的得到DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2$\sqrt{3}$，求得CE=6-2$\sqrt{3}$，由折叠的性质得到MN垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得到AN=EN，设CN=x，则BN=6-x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：①如图1，点E在CD的延长线上，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=6，∠ADC=∠ADE=90°，
∵∠DAE=30°，
∴∠E=60°，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2$\sqrt{3}$，AE=4$\sqrt{3}$，
∵折叠正方形ABCD，使点A与点E重合，
∴MN⊥AE，AF=EF=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，
∴EN=4$\sqrt{3}$，
∴DN=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴CN=6-2$\sqrt{3}$；
②如图2，点E在CD上，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=6，∠ADC=90°，
∵∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2$\sqrt{3}$，
∴CE=6-2$\sqrt{3}$，
∵折叠正方形ABCD，使点A与点E重合，
∴MN垂直平分AE，
∴AN=EN，
设CN=x，则BN=6-x，
∵AB²+BN²=AN²，CN²+CE²=EN²，
∴AB²+BN²=CN²+CE²，
即6²+（6-x）²=x²+（6-2$\sqrt{3}$）²，
∴x=2+2$\sqrt{3}$，
∴CN=2+2$\sqrt{3}$．
综上所述：线段CN的长为6-2$\sqrt{3}$或2+2$\sqrt{3}$．
故答案为：6-2$\sqrt{3}$或2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．