Question

12．如图，抛物线y=x²-3x+$\frac{5}{4}$与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，${m}^{2}-3m+\frac{5}{4}$），E点的坐标为（m，$-\frac{1}{2}m+\frac{5}{4}$），可得两点间的距离为d=${-m}^{2}+\frac{5}{2}m$，利用二次函数的最值可得m，可得点D的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-3x+$\frac{5}{4}$与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
∴令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{5}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{5}{2}$，0）；
令x=0，则y=$\frac{5}{4}$，
∴C点坐标为（0，$\frac{5}{4}$），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=0}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=$-\frac{1}{2}$x$+\frac{5}{4}$；

（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，${m}^{2}-3m+\frac{5}{4}$），
∴E点的坐标为（m，$-\frac{1}{2}$m$+\frac{5}{4}$），
设DE的长度为d，
∵点D是直线BC下方抛物线上一点，
则d=$-\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$-（m²-3m+$\frac{5}{4}$），
整理得，d=-m²+$\frac{5}{2}$m，
∵a=1＞0，
∴当m=-$\frac{\frac{5}{2}}{-2×1}$=$\frac{5}{4}$时，d_最大=$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$=$\frac{0-\frac{25}{4}}{-4}$=$\frac{25}{16}$，
∴D点的坐标为（$\frac{5}{4}$，-$\frac{15}{16}$）．

点评 此题主要考查了二次函数的性质及其图象与坐标轴的交点，设出D的坐标，利用二次函数最值得D点坐标是解答此题的关键．