Question

Rt△ABC中，∠A=90⁰，BC=4,有一个内角为60⁰，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30⁰，则PB的长为       ．

Answer 1

4或或。

分两种情况考虑：
当∠ABC=60°时，如图所示：

∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°。
又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°。
又∵∠ABC=60°，∴△PCB为等边三角形。
又∵BC=4，∴PB=4。
当∠ABC=30°时，
（i）当P在A的右边时，如图所示：

∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°。
又∠B=30°，BC=4，
∴，即 。
（ii）当P在A的左边时，如图所示：

∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°。
又∠B=30°，∴∠BCP=∠B。∴CP=BP。
在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=BC=2。
根据勾股定理得：，
∴AP=AB－PB=－PB。
在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC²＋AP²=CP²=BP²，即2²+（－PB）²=BP²，
解得：BP=。
综上所述，BP的长为4或或。