Question

【题目】已知四边形是正方形，、相交于点，过点作的平分线分别交、于点、．

（1）如图，求证：；

（2）如图，连接，在不添加其他字母和辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形（等腰直角三角形除外）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）， ， ， .

【解析】

（1）取AF的中点G，连接OG，根据三角形的中位线得出OG=FC，OG//FC，根据正方形的性质求出∠0AB、∠ABO、∠OCB的度数，求出∠OEA和∠OGF的度数，推出OG=OE即可；

（2）由已知条件和三角形内角和定理可得∠DAE=∠DEA，∠DEC=∠DCE，∠BEF=∠BFE，进而可得△DAE；△DCE；△BEF是等腰三角形，由垂直平分线的性质可得AE=CE进而可得△AEC是等腰三角形.

解：证明：（1）如图：取的中点G，连接OG．

∵正方形，、交于点，

∴，．

∵，

∴，．

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

（2）

∵四边形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，AO=CO，∠BAC=∠DAC=45°，

∴AE=CE，

∴△AEC是等腰三角形；

∵过点A作∠BAC的平分线分别交BD、BC于E、F，

∴∠BAF=∠CAF=22.5°，

∴∠DAE=67.5°，

∴∠AED=67.5°，

∴AD=ED，

∴△ADE是等腰三角形，AE=CE，

∵∠ECA=∠EAC=22.5°，

∴∠ECD=67.5°，

∴∠DEC=∠DCE=67.5°，

∴DE=CE，

∴△DEC是等腰三角形，

∵∠BEF=∠BFE=67.5°，

∴BE=BF，

∴△BEF是等腰三角形.

可直接写出图中所有的等腰三角形有：， ， ， .