Question

已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在边BC、AC上，且DF∥AB，过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E，连结CE、BF．
（1）求证：△ABF≌△ACE；
（2）若D是BC的中点，判断△DCE的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，AE∥BD，
∴∠EFA=∠BAC=60°，∠CAE=∠ACB=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∴AF=AE，
在△ABF和△ACE中，
∵，
∴△ABF≌△ACE（SAS）．

（2）△DCE是直角三角形，∠DCE=90°．
理由：连接AD，
∵DE∥AB，AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
∴AE=DC，
∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥DC，
∴四边形ADCE是矩形，
∴△DCE是直角三角形，∠DCE=90°．
分析：（1）先判断△EAF为等边三角形，然后利用SAS定理可证明△ABF≌△ACE．
（2）连接AD，则可证明四边形ADCE是平行四边形，利用等边三角形的性质可得AD⊥BC，即∠ADC为直角，得出四边形ADCE为矩形，继而可判断△DCE的形状．
点评：本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定及等边三角形的性质，考察的知识点较多，注意各知识点的掌握，此题难度一般．