Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=-

1

2

x+2，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
（1）若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据直线AC的解析式为y=-

1

2

x+2求出A、C两点的坐标，故可得出OD的长，再过点B作BE⊥x轴于点E，再由锐角三角函数的定义即可求出BE的长，进而得出B点坐标；
（2）作点A关于直线l的对称点A′，连接OA′交直线l于点P，则点P即为所求点．

解答：解：（1）∵直线y=-

1

2

x+2交x轴于点C，交y轴于点A．
∴A（0，2），C（4，0），
如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵△OBD是等腰直角三角形，
∴OE=

1

2

OD=

1

2

×4=2，
∴BE=OE•tan45°=2×1=2，
∴B（2，2）；

（2）如图2所示，
∵B（2，2），
∴直线l的解析式为：x=2，
作点A关于直线l的对称点A′，连接OA′交直线l于点P，则点P即为所求点，
∵A（0，2），
∴A′（4，2），
设直线OA′的解析式为y=kx（k≠0），则2=4k，
解得k=

1

2

，
∴直线OA′的解析式为y=

1

2

x，
∴当x=2时，y=1，
∴P（2，1）．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质等相关知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．